A diferença de uso entre essas duas formas verbais diz respeito, em tese, ao grau de certeza da ação a ser praticada: enquanto “Um dia terei bastante dinheiro e então viajarei pelo mundo” expressa uma ação futura relativamente distante no tempo e não totalmente certa, “Vou enviar este documento agora mesmo” ou “Amanhã vou chegar um pouco mais tarde” são ações bem próximas no tempo (“agora mesmo”, “amanhã”) e sobre as quais tenho uma forte certeza. É o mesmo raciocínio que disciplina, por exemplo, a distinção de uso entre os dois futuros do inglês, o futuro com will (Someday I will do this, “Um dia farei isso”) e o futuro com going to (I am going to answer your message soon, “Vou responder à sua mensagem em breve”).
É bem verdade que o português brasileiro falado praticamente abandonou o futuro sintético e o substituiu em praticamente todos os casos pelo analítico (“Um dia vou ter muito dinheiro e aí vou viajar pelo mundo”), mas, no registro culto, ainda se deve fazer a distinção entre um futuro próximo e certo e um futuro distante e provável/possível.
Nos exemplos que você dá, “eu irei” é o futuro sintético, e “eu vou ir” é o analítico. Ocorre que alguns gramáticos hostilizam a construção “eu vou ir” por achá-la redundante, já que há repetição do verbo “ir”, e por isso preferem simplesmente “eu vou”. Todavia, outros tantos gramáticos não veem problema algum na construção “eu vou ir”, já que “vou” é verbo auxiliar (indicativo de tempo futuro) e está no presente, ao passo que “ir” é o verbo principal (indicativo da ação) e está no infinitivo. Ou seja, em cada uma das ocorrências, o verbo “ir” tem uma função diferente, e elas estão bem demarcadas.
O português brasileiro também acabou consagrando uma terceira forma de futuro, usada às vezes no discurso formal como equivalente ao futuro sintético, mas que deve ser evitada tanto quanto possível. Trata-se de “irei fazer”, “irei dizer”, etc., que, no caso do seu exemplo, daria o horrível “eu irei ir”. Essa construção, com o auxiliar “ir” no futuro, é mais prolixa que simplesmente “eu farei, direi”, etc., e nada acrescenta em termos de nuance semântica. Trata-se de um mero preciosismo que algumas pessoas empregam supondo estar-se expressando bem. Ledo engano!